定义在R上的偶函数f（x）满足f（x-1）是奇函数，则f（2009）=（　　）A. 0B. 2008C. 2009D. -2008

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2022-07-20 18:16:59 24次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

定义在R上的偶函数f（x）满足f（x-1）是奇函数，则f（2009）=（　　）
A. 0
B. 2008
C. 2009
D. -2008

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

因为f（x-1）是奇函数，得到f（-x-1）=-f（x-1），又函数f（x）是偶函数，所以f（-x-1）=-f（x-1）=f（x+1），
即f（x+2）=-f（x），所以f（x+4）=f（x），即函数的周期是4．
所以f（2009）=f（2008+1）=f（1），当x=-1时．f（-1+2）=-f（-1），即f（1）=-f（1），所以f（1）=0．
所以 f（2009）=0，
故选A．

由f（x-1）是奇函数，得到f（-x-1）=-f（x-1），利用函数f（x）是偶函数得到f（-x-1）=-f（x-1）=f（x+1），从而得到函数的周期，利用周期性和奇偶性，进行求值即可．

本题考点：奇偶性与单调性的综合；函数的值．

考点点评：本题主要考查函数奇偶性和周期性的应用，利用条件求出函数的周期是解决本题的关键．考查函数的综合性质．

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