以任意三角形三边做等边三角形证明各等边三角形的中心连线仍为等边三角形现在大一了.额

首页 > 中学考试杂题 > 题目详情

以任意三角形三边做等边三角形证明各等边三角形的中心连线仍为等边三角形现在大一了.额

2022-07-17 11:04:50 23次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

以任意三角形三边做等边三角形证明各等边三角形的中心连线仍为等边三角形
现在大一了.额

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

这是拿破仑三角形.
这个三角形是这样的：● 在任意一个三角形的三条边上分别向外做出三个等边三角形,则这三个等边三角形的中心也构成一个等边三角形.这个由三个等边三角形中心构成的三角形称“外拿破仑三角形”.如图中的△DEF就是△ABC的外拿破仑三角形.● 在任意一个三角形的三条边上分别向内做出三个等边三角形,则这三个等边三角形的中心仍能构成一个等边三角形,这个由三个等边三角形中心构成的三角形称“内拿破仑三角形”.证明这里提供一种最简单的证明方法,只需初中的水平就可以理解了：证明：如图,分别以△ABC的边BC、AC、AB为等边三角形边长,向△ABC外作等边三角形（△BCC'、△ACA'、△ABB'）,设这三个三角形的中心分别为D,E,F,则：∠FAB=∠FBA=∠DBC=∠DCB=∠EAC=∠ECA=30° 以点A为圆心,以AF长为半径作弧；以点E为圆心,以DC长为半径作弧.设两弧在多边形AFBDCE内交于点G.则AG=AF,GE=DC.连接GF、GA、GE,DE、DF、EF.∵△ABF、△BCD、△ACE都是底角为30°的等腰三角形（即∠FAB=∠FBA=∠DBC=∠DCB=∠EAC=∠ECA=30°） ∴△ABF∽△BCD∽△ACE,∴AF/AB = AE/AC = DC/BC 又∵AG=AF,GE=DC ∴AG/AB = AE/AC = GE/BC ∴△AGE∽△ABC ∴∠GAE=∠BAC ∴∠FAG = ∠EAF-∠GAE = ∠EAF-∠BAC = ∠FAB+∠EAC = 60° 又∵AG=AF ∴△AGF为等边三角形 ∴AG=AF,∠AGF=60° ∵△AGE∽△ABC ∴∠AGE=∠ABC 又∵∠FBD = ∠ABC+∠FBA+∠DBC = ∠ABC+60° ∠FGE = ∠AGE+∠AGF = ∠AGE+60° ∴∠FBD=∠FGE ∵在△FBD和△FGE中,FB=FG,∠FBD=∠FGE,BD=GE ∴△FBD≌△FGE(SAS) ∴FD=FE 同理,FD=DE ∵FD=DE=FE ∴△DEF为等边三角形

本题链接：

大家查题吧

首页 > 中学考试杂题 > 题目详情