王老师
回答题目：2621条
简单来说就是
威尔逊定理 若p为质数,则p可整除(p-1)!+1.
证明如下
【结论1】 对于偶质数2,命题显然成立；【（2－1）!+1=2】
【结论2】【对于p＝3,命题显然成立；（3－1）!＋1＝3】
对于奇质数,令a∈A={2,3,4.p-2},则B={a,2a,3a,.,(p-1)a}中不会有对于除数p同余的两个数；事实上αa,βa∈B,αa≡βa(mod p),则a|α-β|能被p整除,而a|α-β|∈B,B中的元素不可能被p除尽.于是B中被p除得的余数形成集合{1,2,3,...,p-1}.
假设B中被p除余一的数是γa:
一若γ=1,则γa=a,它被p除余a,所以γ=1不成立；
二若γ=p-1,则γa=(p-1)a,它被p除余a,所以γ=p-1不成立；
三若γ=a,则γa=a*a,由于a*a≡1(mod p),故应有a*a-1=(a+1)(a-1)≡0(mod p),这只能是a=1或a=p-1,此与a∈A矛盾,故不成立；
有一二三知γ≠a且a∈A.
a不同时,γ也相异；若a1≠a2,a1,a2∈A,且γa1≡γa2≡1(mod p）,因,γa1,γa2∈B,而B中的元素关于mod p不同余,可见a1≠a2,则γ1≠γ2.
即每一个a均可找到与其配对的y使其ay≡1(mod p)
∴ 1×2×3×4.(p-2)≡1(mod p)
p-1≡-1(mod p)
∴ (p-1)!≡-1(mod p)
从而p可整除(p-1)!+1
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