已知数列{an}的首项a1=5，前n项和为Sn．若Sn+1=2Sn+n+5（n∈N*），则数列{an+1}是等比数列．（

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**已知数列{an}的首项a1=5，前n项和为Sn．若Sn+1=2Sn+n+5（n∈N*），则数列{an+1}是等比数列．（**

2022-07-30 19:47:09 9次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

已知数列{a_n}的首项a₁=5，前n项和为S_n．若S_n+1=2S_n+n+5（n∈N^*），则数列{a_n+1}是等比数列．
（1）写出该命题的逆命题；
（2）证明原命题是真命题．

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

（1）∵原命题是数列{a_n}的首项a₁=5，前n项和为S_n，若S_n+1=2S_n+n+5（n∈N^*），则数列{a_n+1}是等比数列；
∴它的逆命题是数列{a_n}的首项a₁=5，前n项和为S_n，若数列{a_n+1}是等比数列，则S_n+1=2S_n+n+5（n∈N^*）；
（2）证明：在数列{a_n}中，a₁=5，前n项和为S_n，
且S_n+1=2S_n+n+5（n∈N^*），
∴S_n=2S_n-1+（n-1）+5，
∴（S_n+1-S_n）=2（S_n-S_n-1）+[n-（n-1）]+（5-5）；
即a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2a_n+2，
∴

an+1+1

an+1

=2；
∴数列{a_n+1}是以公比q=2，首项为a₁+1=5+1=6的等比数列．
∴原命题是真命题．

（1）根据原命题与逆命题之间的关系，写出它的逆命题即可；
（2）根据等比数列的定义，结合前n项和公式，即可证明数列{a_n+1}是等比数列．

本题考点：四种命题．

考点点评：本题考查了四种命题之间的关系，也考查了等比数列的定义与前n项和公式的应用问题，是基础题．

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