已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F，（1）求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长；（2）判断点A（1，1）

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已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F，（1）求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长；（2）判断点A（1，1）

2022-07-28 02:17:09 17次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

已知椭圆5x²+9y²=45，椭圆的右焦点为F，
（1）求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长；
（2）判断点A（1，1）与椭圆的位置关系，并求以A为中点椭圆的弦所在的直线方程．

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

（1）由题意可得：过点F且斜率为1的直线方程为y=x-2，
联立直线与椭圆的方程可得：14x²-36x-9=0，
∴x₁+x₂=

，x₁•x₂=-

，
由弦长公式可得：|MN|=

1+1

•

(

)2+

（2）设以A（1，1）为中点椭圆的弦与椭圆交于E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
∵A（1，1）为EF中点，
∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
把E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）分别代入椭圆5x²+9y²=45，
得5x₁²+9y₁²=45，5x₂²+9y₂²=45
∴5（x₁+x₂）（x₁-x₂）+9（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴10（x₁-x₂）+18（y₁-y₂）=0，
∴k=

y1−y2

x1−x2

，
∴以A（1，1）为中点椭圆的弦所在的直线方程为：y-1=-

（x-1），
整理，得5x+9y-14=0．

（1）设出直线的方程，联立直线与椭圆的方程利用由弦长公式可得答案．
（2）设以A（1，1）为中点椭圆的弦与椭圆交于E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），A（1，1）为EF中点，x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，利用点差法能够求出以A（1，1）为中点椭圆的弦所在的直线方程．

本题考点：直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评：本题主要考查了椭圆的应用，考查了弦长问题与弦中点问题，正确运用点差法是关键．

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