设整数a、b(a≠b)使方程x^2+ax+b=0与x^2+bx+a=0有一个公共根,证明:这两个方程的根都是整数.

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设整数a、b(a≠b)使方程x^2+ax+b=0与x^2+bx+a=0有一个公共根,证明:这两个方程的根都是整数.

2022-08-23 17:47:37 18次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

设整数a、b(a≠b)使方程x^2+ax+b=0与x^2+bx+a=0有一个公共根,证明:这两个方程的根都是整数.

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

一 .先补充以下知识：
二次方程是一种整式方程,其未知项的最高次数是2.
如果一个二次方程只含有一个未知数(x),那么就称其为一元二次方程.
如果一个二次方程含有二个未知数(x和y),那么就称其为二元二次方程,以此类推.
二次方程中最常见的是一元二次方程.它的基本表达式为：ax^2+bx+c=0(a≠0).其中a为方程的二次项系数,b为一次项系数,c为常数.若a = 0,则该方程没有二次项,即变为一次方程.
一元二次方程的根
(1)若b^2-4ac0,有两个不等实根： x1=[-b+√(b^2-4ac)]/(2a) ,x2=[-b-√(b^2-4ac)]/(2a) .
其中b^2-4ac称为根的判别式,常记为△.
推导过程：
移项,化二次项系数为1,得
x^2+b/ax=-c/a
两边同时加（b/(2a))^2,得
（x+b/(2a))^2=(b^2-4ac)/(4a^2)
x=[-b±√(b^2-4ac)]/(2a)
还可以令x=y-b/(2a),代入后消去一次项,得y^2=(b^2-4ac)/(4a^2),再减去b/(2a).
二. 取公共根,两等式做差,得
（a-b）x+b-a=0 → 公共根x=1,带入任一方程,得
a+b=-1

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