已知定义域为R的函数f（x）存在反函数f-1（x），且对于任意的x∈R，恒有f（x）+f（-x）=1，则f-1+f-1（x-2009）=（　　）A. 0B. 2C. 3D. 与x有关

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已知定义域为R的函数f（x）存在反函数f-1（x），且对于任意的x∈R，恒有f（x）+f（-x）=1，则f-1+f-1（x-2009）=（　　）A. 0B. 2C. 3D. 与x有关

2022-01-27 05:16:07 42次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

已知定义域为R的函数f（x）存在反函数f^-1（x），且对于任意的x∈R，恒有f（x）+f（-x）=1，则f^-1+f^-1（x-2009）=（　　）
A. 0
B. 2
C. 3
D. 与x有关

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

∵f（x）+f（-x）=1，
令 2010-x=m，x-2009=n，∴m+n=1，
∴可令 f（t）=m，f（-t）=n，由反函数的定义知，
∴t=f^-1（m），-t=f^-1（n）
∴f′（m）+f′（n）=0，
即：f^-1（2010-x）+f^-1（x-2009）的值是0，
故选A．

注意（2010-x ）与（x-2009）的和等于1，若（2010-x ）与（x-2009）一个是m，则另一个是1-m，令 f（t）=m，f（-t）=n，再应用反函数的定义解出 t 和-t即可得．

本题考点：反函数．

考点点评：本题考查反函数的定义、函数的对称性，考查了换元的数学思想，属于基础题．

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