若函数f(x)=13x3-x在(a，10-a2)上有最小值，则a的取值范围为 __

2022-10-03 15:31:18 12次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

王老师

回答题目：2621条

由已知，f′（x）=x²-1，有x²-1≥0得x≥1或x≤-1，
因此当x∈[1，+∞），（-∞，-1]时f（x）为增函数，在x∈[-1，1]时f（x）为减函数．
又因为函数f(x)=

x3-x在(a，10-a2)上有最小值，所以开区间（a，10-a²）须包含x=1，
所以函数f（x）的最小值即为函数的极小值f（1）=-

，
又由f（x）=-

可得

x³-x=-

，于是得（x-1）²（x+2）=0
即有f（-2）=-

，因此有以下不等式成立：

-2≤a＜1

10-a2＞1

，可解得-2≤a＜1，
答案为：[-2，1）

先求出函数的导函数，求出函数的单调区间，再根据已知在区间（a，10-a²）有最小值确定出参数a的取值范围．

本题考点：利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评：本题考查函数的导数，利用导数求函数的极值和最值的问题，分类讨论的思想方法．本题需要注意：在开区间内函数的极小值（本题中也是最小值）在函数导数为零的点处取得，即若x₀∈（a，b），且f′（x₀）=0，则函数f（x）的极值是f（x₀）；再由题意可得这个极值也是函数的最值．

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