若直线l：ax+by+1=0（a＞0，b＞0）始终平分圆M：x2+y2+8x+2y+1=0的周长，则1a+4b的最小值为______．

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若直线l：ax+by+1=0（a＞0，b＞0）始终平分圆M：x2+y2+8x+2y+1=0的周长，则1a+4b的最小值为______．

2022-10-09 17:21:29 16次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

若直线l：ax+by+1=0（a＞0，b＞0）始终平分圆M：x²+y²+8x+2y+1=0的周长，则
1
a
+
4
b
的最小值为______．

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

整理圆的方程得（x+4）2+（y+1）2=16，∴圆心坐标为（-4，-1）∵直线l：ax+by+1=0（a＞0，b＞0）始终平分圆M：x2+y2+8x+2y+1=0的周长∴直线l过圆心，即-4a-b+1=0∴4a+b=1∴1a+4b=（4a+b）（1a+4b）=8+16ab+ba≥8+216...

先根据题意可推断出直线l过圆的直径，利用圆的方程求得圆心坐标代入直线方程求得a和b的关系，然后把

1

a

+

4

b

整理成（4a+b）（

1

a

+

4

b

）的形式展开后利用基本不等式求得答案．

本题考点：基本不等式在最值问题中的应用；直线与圆相交的性质．

考点点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，直线与圆的位置关系．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．

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