若二次方程ax2+2（2a-1）x+4（a-3）=0至少有一个整数根，则自然数a=_____

2022-09-25 10:29:00 13次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

王老师

回答题目：2621条

∵原方程至少有一个整数根，∴a≠0，△=4（2a-1）2-4a•4（a-3）=4（8a+1）为完全平方数，设8a+1=（2m+1）2（m为自然数），∴a＝12m(m+1)代入原方程，得12m(m+1)x2+2[m(m+1)−1]x+2m(m+1)−12＝0，解之得，x1＝−2+4...

由原方程至少有一个整数根，得到a≠0，△=4（2a-1）²-4a•4（a-3）=4（8a+1）为完全平方数，可设8a+1=（2m+1）²（m为自然数），从而得到a＝

m(m+1)，把它代入原方程然后利用求根公式解得x1＝−2+

，x2＝−2−

m+1

，由于x₁，x₂中至少有一个整数，m为自然数，利用整数的整除性即可求出m的值，最后计算出对应的a的值．

本题考点：一元二次方程的整数根与有理根；根的判别式．

考点点评：本题考查了一元二次方程有整数根的条件：判别式△=b²-4ac为完全平方数．也考查了利用求根公式解一元二次方程以及整数的整除性质．

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