题目内容：

函数y=kx(k>0)的图象与函数y=log2x的图象交于A1,B1两点(A1在线段OB1上,O为坐标原点),过A1,B1作x轴的垂线,垂足分别为M,N,并且A1M,B1N分别交函数y=log4x的图象于A2,B2两点
(1)求证:A2是A1M的中点
(2)若A1B2平行与x轴,求四边形A1A2B2B1的面积

优质解答

1、
设y=kx(k>0)的图象与y=log2x的图像第一个交点A1横坐标为x1=a＞0,即有：log2a=ka.A1坐标为(a,log2a)=(a,ka),易知A1、A2、M三个点横坐标相同,且M点坐标为(a,0),要证明A2是A1M的中点,只须证明A2的纵坐标为yA2=ka/2.
将xA2=x1=a代入y=log4x：yA2=log4a=lga/lg4=lga/2lg2=(log2a)/2=ka/2,得证.
2、
A1B2平行于x轴,说明A1与B2纵坐标相同,设此时A1坐标(a,log2a)=(a,ka),则可设B2坐标为(b,log2a)=(b,ka),而B1横坐标与B2横坐标相同,因此可设B1坐标为(b,log2b)=(b,kb).
B2在y=log4x的图像上,其坐标满足：log2a=log4b,即b=a^2,因此B1坐标可写为(a^2,log2(a^2))=(a^2,2log2a)=(a^2,ka^2),即：2log2a=ka^2,而由A1坐标知log2a=ka,因此：2ka=ka^2,显然k＞0、a＞0,可求得a=2,代入log2a=ka,可求得k=1/2,且可知b=a^2=4.
结合上一小题A2的坐标,将k=1/2、a=2、b=4分别代入可求得各点坐标为：
A1(2,1)、A2(2,1/2)、B1(4,2)、B2(4,1).
因为A1B2与x轴平行,四边形A1A2B2B1可分成两个直角三角形ΔA1B2A2与ΔA1B2B1,直角边分别为A1A2、A1B2与A1B2、B2B1,根据各点坐标易求得直角边长度：A1A2=1-1/2=1/2,A1B2=4-2=2,B2B1=2-1=1
因此四边形A1A2B2B1的面积等于直角三角形ΔA1B2A2与ΔA1B2B1面积的和：
四边形A1A2B2B1的面积
=(A1A2×A1B2)/2+(A1B2×B2B1)/2
=1/2×2/2+2×1/2
=1/2+1
=3/2