题目内容：

设数列{a_n}的前项和为S_n，且S_n=2−

1

2n−1

，{b_n}为等差数列，且a₁=b₁，a₂（b₂-b₁）=a₁．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}通项公式；
（Ⅱ）设cn＝

bn

an

，求数列{c_n}的前n项和T_n．

优质解答

（Ⅰ）当n=1时，a₁=S₁=1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2−

1

2n−1

）-（2−

1

2n−2

 ）=

1

2n−1

，
经验证当n=1时，此式也成立，所以an＝

1

2n−1

，从而b₁=a₁=1，b2−b1＝

a1

a2

＝2，
又因为{b_n}为等差数列，所以公差d=2，∴b_n=1+（n-1）•2=2n-1，
故数列{a_n}和{b_n}通项公式分别为：an＝

1

2n−1

，b_n=2n-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知cn＝

2n−1

1 2n−1

＝(2n−1)•2n−1，
所以Tn＝1×20+3×21+5×22+…+（2n-1）•2^n-1    ①
①×2得2Tn＝1×21+3×22+5×23+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ   ②
①-②得：−Tn＝1+2(2+22+…+2n−1)-（2n-1）•2ⁿ
=1+2

2(1−2n−1)

1−2

−(2n−1)•2n=1+2ⁿ⁺¹-4-（2n-1）•2ⁿ=-3-（2n-3）•2ⁿ．
∴数列{c_n}的前n项和Tn＝3+(2n−3)•2n．