题目内容：

已知：二次函数y=x²-2（m-1）x+m²-2m-3，其中m为实数．
（1）求证：不论m取何实数，这个二次函数的图象与x轴必有两个交点；
（2）设这个二次函数的图象与x轴交于点A（x₁，0）、B（x₂，0），且x₁、x₂的倒数和为

2

3

，求这个二次函数的解析式．

优质解答

（1）∵△=b²-4ac=[-2（m-1）]²-4（m²-2m-3）=4m²-8m+4-4m²+8m+12=16＞0，
∴不论m取何实数，这个二次函数的图象与x轴必有两个交点；
（2）∵x₁+x₂=2（m-1），x₁x₂=m²-2m-3，

1

x1

+

1

x2

=

2

3

，
即

x1+x2

x1x2

=

2

3

，

2(m−1)

m2−2m−3

=

2

3

，
解得m=0或5，
二次函数解析式为：y=x²+2x-3或y=x²-8x+12．