题目内容：

如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，以点A（0，-3）为圆心，5为半径作圆A，交x轴于B，C两点，交y轴于点D，E两点．

（1）求点B，C，D的坐标；
（2）一个二次函数图象经过B，C，D三点，求这个二次函数解析式；
（3）P为x轴正半轴上的一点，过点P作与圆A相离并且与x轴垂直的直线，交上述二次函数图象于点F，当△CPF中一个内角的正切值为

1

2

时，求点P的坐标．

优质解答

（1）∵点A的坐标为（0，-3），线段AD=5，
∴点D的坐标（0，2），
连接AC，如图所示：

在Rt△AOC中，∠AOC=90°，OA=3，AC=5，
∴OC=4，
∴点C的坐标为（4，0）；同理可得点B坐标为（-4，0）；
（2）设所求二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，
由于该二次函数的图象经过B，C，D三点，
则

16a-4b+c=0 16a+4b+c=0 c=2

，
解得：

a=- 1 8 b=0 c=2

，
∴所求的二次函数的解析式为y=-

1

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x²+2；
（3）设点P坐标为（t，0），由题意得t>5，
且点F的坐标为（t，-

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t²+2），PC=t-4，PF=

1

8

t²-2，
∵∠CPF=90°，
∴当△CPF中一个内角的正切值为

1

2

时，
①若

CP

PF

=

1

2

时，即

t-4

1 8 t2-2

=

1

2

，解得t₁=12，t₂=4（舍）；
②当

PF

CP

=

1

2

时，即

1 8 t2-2

t-4

=

1

2

，解得t₁=0（舍），t₂=4（舍），
则所求点P的坐标为（12，0）．