题目内容：

已知两个平面的方程,和一点P .求 包含此两平面交线和点P的平面的方程
已知两个平面的方程 x+y-z=2,2x-y+3z=1,和一点 P（-1,2,1）.两个平面交于直线 L .
求 包含直线 L 并且过点 P 的平面的方程.

优质解答

两个平面的法向量分别是 n1=(1,1,-1) 得 n2=(2,-1,3) ,
所以交线的方向向量为 n=n1×n2=(2,-5,-3) （推荐的答案中,这一步求错了）,
很容易看出交线上有点Q（1,1,0）,
因此所求平面内有另一向量 PQ=(2,-1,-1) ,
所以,所求平面的法向量为 n×PQ=(2,-4,8) ,
因此,所求的过P与L的平面方程为 2(x+1)-4(y-2)+8(z-1)=0 ,
化简得 x-2y+4z+1=0 .
相信我,这是正确的答案,

追问：

我再问下一道题..我给你加了20分.. 我不清楚这题的意思..... 若 b 向量为 2i-k , 用平行于 b 向量的一个向量 和 垂直于 b 的一个向量 （这两个向量）的和， 来表示向量 v =4i+j-3k. 谢谢了

追答：

平行于 b 的向量可表示为 λb=2λ*i-λ*k ，垂直于 b 的向量可表示为 μ(i+ρ*j+2*k)=μ*i+μρ*j+2μ*k ， 这里 λ、μ、ρ 均为实数 ， 令 4*i+j-3*k=2λ*i-λ*k+μ*i+μρ*j+2μ*k=(2λ+μ)*i+μρ*j+(2μ-λ)*k ， 比较系数可得 2λ+μ=4 ，μρ=1 ，2μ-λ= -3 ， 解得 λ=11/5 ，μ= -2/5 ，ρ= -5/2 ， 因此 v=4i+j-3k=11/5*(2i-k)-2/5*(i-5/2*j+2k) 。 这实际上是向量的正交分解，主要是解方程组。

追问：

我问一下关于确定 b 的平行向量的的问题... 我最初用的是参数表示， 先求出方向向量，（2，0，-1），然后 x= 2t+q, z=-t+q 这样做为什么做不下去？ 谢谢了

追答：

就是这样的思路。b=(2，0，-1) ，与 b 垂直的向量为 (1，t，2) ， 然后 (4，1,-3)=x(2，0，-1)+y(1，t，2) ， 可得 2x+y=4 ，yt=1 ，-x+2y= -3 ， 就解出 x、y、t 了 。 不知道你那个 t、q、x、y 是表示什么的。