题目内容：

设F为抛物线x^2=8y的焦点,点A,B,C在此抛物线上,若向量FA+向量FB+向量FC=0,则向量FA的模+向量FB的模+向量FC的模=多少?

优质解答

焦点F(0,2),准线y=-2,则AF,BF,CF的模分别等于A,B,C到准线的距离.
设A,B,C坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)
因为向量FA+向量FC+向量FC=0,所以F为三角形ABC的重心
由重心定理得(x1+x2+x3)/3=0（0是F横坐标）;
(y1+y2+y3)/3=2（2是F纵坐标）
所以y1+y2+y3=6.
因为抛物线上的点到焦点距离=它到准线的距离
|FA|+|FB|+|FC|=(y1+2)+(y2+2)+(y3+2)=y1+y2+y3+6=6+6=12.

追问：

麻烦你了。。谢谢。。但是。。 为什么向量FA+向量FC+向量FC=0,,所以F为三角形ABC的重心？ 重心定理又是什么？。。。

追答：

下面这个结论就是重心定理： F为三角形ABC所在平面内一点,FA+FB+FC=0点F是三角形ABC的重心 (FA ,FB, FC, 0为向量) 【证明】 取BC中点D，连结并延长FD至E，使DE=FD,则四边形BFCE是平行四边形 ∴向量FB=向量CE ∴向量FB+向量FC=向量CE+向量FC=向量FE 由向量FA+向量FB+向量FC=0得:向量FB+向量FC=-向量FA=向量AF ∴向量AF和向量FE共线===>A、F、E三点共线 而D在FE上, ∴A、F、D三点共线 而点D又是BC中点, ∴AD(即AF)是三角形ABC中BC边上的中线 同理可证BF是AC边上的中线，CF是AB边上的中线 ∴点F是三角形ABC的重心。