题目内容：

已知函数f（x）=x²+mx+nlnx（x＞0，实数m，n为常数）．若n+3m²=0（m＞0），且函数f（x）在x∈[1，+∞）上的最小值为0，求m的值．

优质解答

（1）当n+3m²=0时，f（x）=x²+mx-3m²lnx．
则f′(x)＝2x+m−

3m2

x

＝

2x2+mx−3m2

x

＝

(2x+3m)(x−m)

x

．
令f'（x）=0，得x＝−

3m

2

（舍），x=m．
①当m＞1时，

∴当x=m时，f_min（x）=2m²-3m²lnm．
令2m²-3m²lnm=0，得m＝e

2

3

．
②当0＜m≤1时，f'（x）≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，f（x）在x∈[1，+∞）上为增函数，当x=1时，f_min（x）=1+m．
令m+1=0，得m=-1（舍）．
综上所述，所求m为m＝e

2

3

．