题目内容：

如图，已知长方形ABCD，AB=CD=4，BC=AD=6，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，E为CD边的中点，P为长方形ABCD边上的动点，动点P从A出发，沿着A→B→C→E运动到E点停止，设点P经过的路程为x，△APE的面积为y．

（1）求当x=2时，x=5时，对应y的值；
（2）写出y与x之间的关系式；
（3）当y=9时，求x的值；
（4）当P在线段BC上运动时，是否存在点P使得△APE的周长最小？若存在，求出此时∠PAD的度数，若不存在，请说明理由．

优质解答

（1）如图1，∵长方形ABCD中，BC=AD=6，
∴当x=2时，则AP=2，故y=S_△APE=

1

2

×2×6=6；
∵长方形ABCD，AB=CD=4，BC=AD=6，
∴当x=5时，则BP′=1，
故y=S_△AP′E=S_梯形ABCE-S_△ABP′-S_△P′CE
=

1

2

（AB+EC）×BC-

1

2

×AB×BP′-

1

2

P′C×EC
=

1

2

（4+2）×6-

1

2

×1×4-

1

2

×5×2
=11；

（2）当0≤x≤4时，y=

1

2

x×6=3x；
当4<x≤10时，P在BC上，
y=S_梯形ABCE-S_△ABP′-S_△P′CE
=18-

1

2

×4×（x-4）-

1

2

（10-x）×2
=16-x；
当10<x≤12时，P在EC上，
y=

1

2

×6×（12-x）=36-3x
综上所述：y=

3x，0≤x≤4 16-x，4<x≤10 36-3x，10<x≤12

；

（3）当y=9时，9=3x，解得：x=3，
9=16-x，解得：x=7，
9=36-3x，解得：x=9（不合题意舍去）
综上所述：x的值3，7；

（4）存在，
理由：如图2，延长DC，作E点的对称点E′，连接AE′，交BC于点P，
此时△APE的周长最小，
∵AB∥EC，
∴△ABP∽△E′CP，
∴

AB

E′C

=

BP

PC

，
∴

4

2

=

BP

6-BP

，
解得：BP=4，
则PC=2，
∴PC=CE′=2，
∴∠AE′D=45°，
∴∠PAD的度数为45°．