题目内容：

在矩形ABCD中，E为CD的中点，H为BE上的一点，

EH

BH

=3，连接CH并延长交AB于点G，连接GE并延长交AD的延长线于点F．

（1）求证：

EC

BG

=

EH

BH

；
（2）若∠CGF=90°，求

AB

BC

的值．

优质解答

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，AD=BC，AB=CD，AD∥BC，
∴△CEH∽△GBH，
∴

EC

BG

=

EH

BH

．
（2） 作EM⊥AB于M，如图所示：
则EM=BC=AD，AM=DE，
∵E为CD的中点，
∴DE=CE，
设DE=CE=3a，则AB=CD=6a，
由（1）得：

EC

BG

=

EH

BH

=3，
∴BG=

1

3

CE=a，
∴AG=5a，
∵∠EDF=90°=∠CGF，∠DEF=∠GEC，
∴△DEF∽△GEC，
∴

DE

EG

=

EF

EC

，
∴EG•EF=DE•EC，
∵CD∥AB，
∴

EF

FG

=

DE

AG

=

3

5

，
∴

EF

EG

=

3

2

，
∴EF=

3

2

EG，
∴EG•

3

2

EG=3a•3a，
解得：EG=

6

a，
在Rt△EMG中，GM=2a，
∴EM=

EG2-GM2

=

2

a，
∴BC=

2

a，
∴

AB

BC

=

6a

2 a

=3

2

．