题目内容：

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，底面A₁B₁C₁D₁ 是正方形，O是BD的中点，E是棱AA₁上任意一点．

（Ⅰ）证明：BD⊥EC₁；
（Ⅱ）如果AB=2，AE=

2

，OE⊥EC₁，求AA₁的长．

优质解答

（Ⅰ）连接AC，AE∥CC₁，⇒E，A，C，C₁共面，
长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面A₁B₁C₁D₁是正方形．
AC⊥BD，EA⊥BD，AC∩EA=A，⇒BD⊥平面EACC₁，⇒BD⊥EC₁；
（Ⅱ）在矩形ACC₁A₁中，OE⊥EC₁，⇒△OAE∽△EA₁C₁，
AB=2，AE=

2

得

AE

AO

＝

A1C1

EA1

⇔

2

2

＝

AA1− 2

2 2

，AA₁=3

2

．