题目内容：

平方根的和是否无理数
$\sqrt{2}+\sqrt{3}$$\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$$\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7}$我已经通过自己的方法证明了上述结果都是无理数,但是对于更多项的,比如$\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7}+\sqrt{11}+\sqrt{13}+\sqrt{17}+\sqrt{19}$能够证明它是无理数吗?（根号内的数不限于素数）

优质解答

高等数学符号我写不出来了.举一个例子：证明$\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$为无理数：假设$\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}=p$,p是无理数,平方$10+2(\sqrt{6}+\sqrt{10}+\sqrt{15})=p^2$$=>\sqrt{6}+\sqrt{10}+\sqrt{15}=Q$是一个有理数,平方（平方后依然只有$\sqrt{6},\sqrt{10},\sqrt{15}$,这时已经达到稳定了）$=>5\sqrt{6}+3\sqrt{10}+2\sqrt{15}=Q-31=S$是一个有理数,$=>3\sqrt{6}+\sqrt{10}+2(\sqrt{15}+\sqrt{6}+\sqrt{10})=S$$=>3\sqrt{6}+\sqrt{10}=T$是一个有理数,平方$=>12\sqrt{15}=R$是一个有理数,矛盾 查看原帖>>