题目内容：

过抛物线y=x²的顶点作互相垂直的两条弦OA、OB，抛物线的顶点O在直线AB上的射影为P，求动点P的轨迹方程．

优质解答

设P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
l_AB：y=kx+b，（b≠0）由

y＝kx+b y＝x2

消去y得：x²-kx-b=0，x₁x₂=-b．
∵OA⊥OB，∴

OA

•

OB

＝0，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
所以x₁x₂+（x₁x₂）²=-b+（-b）²=0，b≠0，∴b=1，∴直线AB过定点M（0，1），
又OP⊥AB，∴点P的轨迹是以OM为直径的圆（不含原点O），
∴点P的轨迹方程为x2+(y−

1

2

)2＝

1

4

(y＞0)．