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在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足2c−ba=cosBcosA.(Ⅰ)求角A的大小;(Ⅱ)若a=25,求△ABC面积的最大值.
题目内容:
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足2c−b a
=cosB cosA
.
(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)若a=25
,求△ABC面积的最大值.优质解答
(Ⅰ)∵2c−b a
=cosB cosA
,
所以(2c-b)•cosA=a•cosB
由正弦定理,得(2sinC-sinB)•cosA=sinA•cosB.
整理得2sinC•cosA-sinB•cosA=sinA•cosB.
∴2sinC•cosA=sin(A+B)=sinC.
在△ABC中,sinC≠0.
∴cosA=1 2
,∠A=π 3
.
(Ⅱ)由余弦定理cosA=b2+c2−a2 2bc
=1 2
,a=25
.
∴b2+c2-20=bc≥2bc-20
∴bc≤20,当且仅当b=c时取“=”.
∴三角形的面积S=1 2
bcsinA≤53
.
∴三角形面积的最大值为53
.
2c−b |
a |
cosB |
cosA |
(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)若a=2
5 |
优质解答
2c−b |
a |
cosB |
cosA |
所以(2c-b)•cosA=a•cosB
由正弦定理,得(2sinC-sinB)•cosA=sinA•cosB.
整理得2sinC•cosA-sinB•cosA=sinA•cosB.
∴2sinC•cosA=sin(A+B)=sinC.
在△ABC中,sinC≠0.
∴cosA=
1 |
2 |
π |
3 |
(Ⅱ)由余弦定理cosA=
b2+c2−a2 |
2bc |
1 |
2 |
5 |
∴b2+c2-20=bc≥2bc-20
∴bc≤20,当且仅当b=c时取“=”.
∴三角形的面积S=
1 |
2 |
3 |
∴三角形面积的最大值为5
3 |
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