题目内容：

如图，在边长为l的等边△ABC中，圆O₁为△ABC的内切圆，圆O₂与圆O₁外切，且与AB，BC相切，…，圆O_n+1与圆O_n外切，且与AB，BC相切，如此无限继续下去．记圆O_n的面积为a_n（n∈N）．
（Ⅰ）证明{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）求

lim

n→∞

（a₁+a₂+…+a_n）的值．

优质解答

（Ⅰ）证明：记r_n为圆O_n的半径，
则r1＝

l

2

tan30°＝

3

6

l，

rn−1−rn

rn−1+rn

＝sin30°＝

1

2

．
所以rn＝

1

3

rn−1(n≥2)，
于是a1＝π

r

1 2

＝

πl2

12

，

an

an−1

＝(

rn

rn−1

)2＝

1

9

故{a_n}成等比数列．
（Ⅱ）因为an＝(

1

9

)n−1a1(n∈N)，
所以

lim

n→∞

(a1+a2+…+an)＝

a1

1− 1 9

＝

3πl2

32

．