数学奥林匹克高中训练题(138)考试题库

数学奥林匹克高中训练题(138)考试试题及答案

1：设，，…，是正实数，，且．则______．......
2：已知正四棱锥的五个顶点在同一球面上．若该四棱锥的体积为，则球的表面积的最小值为______．......
3：已知函数：满足．①，则______．......
4：已知正实数、、满足．证明：对任意正实数、、，有．......
5：已知锐角，过点、的与边、分别交于点、，为外接圆的弧上一点．证明：、、三线共点的充分必要条件是的内心与的内心重合．......
6：在半径为4的大球内，已任意放了24个棱长为l的正方体．证明：在大球内至少还可以放置4个半径为的小球，使得这些小球及正方体都在大球内且相互不重叠.......
7：操场上有100个人排成一圈，按顺时针方向依次标为，，…，．主持人将编号为l，2，…，50的纪念品按照以下方式依次分发给众人：先将第l号纪念品交给；然后顺时针跳过1个人，将第2号纪念品交给；再顺时针跳过.........
8：已知：，椭圆：，其中，．从上任一点引椭圆的两条切线，两个切点所连线段称为其对应的切点弦．试求椭圆内部与上述切点弦永远不相交的区域．......
9：已知可以用一系列半径为且彼此不重叠的圆盘覆盖平面上的所有格点（在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点），则______4 （填“大于～小于”或“等于”）．......
10：将这16个正整数随机地填入棋盘的16个格子中（每格填写一数），则使每行、每列填数之和皆为偶数的概率为______．......
11：从中随意取l005个不同数，使得其和为l021035．则其中至少有______个奇数．......
12：已知，且．则______．......
13：一个不规则的凸立方体内部有一点，过Q的直线与立方体表面交于点、．则使成立的直线有______条．......
14：已知、、为大于3的整数，将的立方体分割为个单位正方体，从一角的单位正方体起第层、第行、第列的单位正方体记为．求所有有序六元数组的个数，使得一只蚂蚁从出发，经过每个小正方体恰一次到达.（注）蚂蚁可以从一.........
15：试求的最末两位非零数字．......

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