数学奥林匹克高中训练题_124考试题库

数学奥林匹克高中训练题_124考试试题及答案

1：一次考试的总分由六个6分题、六个9分题，十二个5分题组成.那么，这份卷子可以组成不同的得分种数是______.......
2：已知，一元二次方程有重根.则的值是______.......
3：在四面体中，，，,.设、、、的面积分别是、、、,且满足.则的值等于______.......
4：实数，且，.则的值等于______.......
5：一个三位数满足.则这个三位数是______.......
6：已知递推式，.则通项公式______.......
7：椭圆与轴负半轴交于点，为椭圆第一象限上的点，直线交椭圆于另一点，椭圆左焦点为，连接交于点.如果，则椭圆的离心率等于______.......
8：已知三个非零实数、、，集合记为集合的所有元素之和，为集合的所有元素之积.若，则的值是______.......
9：已知整数、均不为零，满足（，、是奇质数），且，、不是的倍数.若存在整数、使得，求证：可以表示成两个整数的平方和.......
10：集合，，.若集合中的所有元素都能用中不超过9个的不同元素相加表示，求，并构造达到最小时对应的一个集合.......
11：求证：（1）若、、为正数，为非负数，则. （2）若、、、为正数，则.......
12：如图，的一个旁切圆分别切边及、的延长线于点、、，于点,于点,联结，过点作，、分别交、的延长线于点、.证明：.......
13：（1）求最大的正数，使得满足的正数、、都可作为一个三角形的三条边；（2）求证：满足的四个正数、、、，一定存在三个数可以为一个三角形的三角边.......
14：已知双曲线，的右支上有一条动弦，的中点为. （1）若到双曲线的一条经过第一、三象限的渐近线的距离为1，另一条渐近线与交于点,为原点, 求的长度；（2）若, 且与、交于点、, 求的取值范围.......
15：设为大于的正整数，记和分别是集合具有项单调的等差数列和公比为整数的等比数列的个数. (1)求的值；（2）证明： .......

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