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数学奥林匹克高中训练题（157）考试试题及答案
1：
设，.则=______（用表示，结果不含三角符号）.......
2：
设、为正整数，且.则=______.......
3：
如图，为锐角的垂心，与交于点，，点在边上，满足，且于点，为延长线上一点，满足.证明：.......
4：
设锐角满足.令，且令，、为任意正实数.证明：.......
5：
已知数列满足，，. （1）求的通项公式； （2）令，为数列的前项和，证明：.......
6：
已知上可导函数满足恒成立.若，求的最大值.......
7：
若为正实数，，满足，则的取值范围为______.......
8：
在三棱锥中，已知底面.若，且，则=______.......
9：
已知为空间内不与三顶点重合的一点，、、的角平分线分别与三边、、交于点、、.则的最大值为______.......
10：
数列满足，.则的通项公式为______.......
11：
设点，为抛物线上一点.则的最小值为______.......
12：
设为正方形边的中点，分别在边、上任取两点、.则为锐角的概率为______.......
13：
伦敦奥运会后，某国代表团派（为奇质数）名金牌获得者去该国各地进行体育推广活动.若先在个城市选择相同人数参加活动，后在另个城市选择个人参加活动.人员安排结束后，发现任个人在同一城市共同参加活动的次数恰好.........
14：
是否存在增函数，使得对正整数（且），只要为质数，就必定不可能有......
15：
设，.证明：.......
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