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数学奥林匹克高中训练题（155）考试试题及答案
1：
已知正整数、满足，则______.......
2：
已知正整数满足对任意正整数，有的最小质因数不小于11，则______.......
3：
数列满足，且对所有非负整数、有.①则被2012除的余数为______.......
4：
将27个编号为的球放入甲、乙、丙三个碗中，使得甲、乙、丙碗中的球号的平均值分别为15、3、18，且每个碗中不能少于4个球，则甲碗中的最小球号的最大值为______.......
5：
如图，已知正三边、、上点、、满足，，。若，则由直线、、所围成的的面积为______.......
6：
已知一个正整数等于其各位数字之和的30倍，则这个数为______.......
7：
已知在正方形中，内接有10个边长为1的正方形（如图），则正方形的面积为______.......
8：
已知若干个长方体盒子，其棱长均为不大于正奇数的正整数（允许三棱长相同），且盒壁厚度忽略不计，每个盒子的三组对面分别染为红、蓝、黄三色，若没有一个盒子能以同色面平行的方式装入另一个盒子中，则称这些盒子是.........
9：
从左到右依次写出1到10000的全部正整数，然后去掉那些能被5或7整除的数，将剩下的数连成一排组成一个新数。试求： （1）新数的位数； （2）新数被11除的余数。......
10：
求所有的实数，满足方程，其中，表示不超过实数的最大整数。......
11：
已知及一点，分别以边、、的中点、、为圆心作过点的圆，记这三个圆两两的异于的交点分别为、、。 证明：（1）若为锐角三角形，则当且仅当为的外心时，为的内心； （2）若为钝角，则当且仅当为的外心时，为的内的.........
12：
求满足的所有正整数对。......
13：
有多少九位数满足，各位数码两两不同，且。......
14：
设动点在双曲线的右支上（非顶点），、分别是双曲线的左、右焦点，为在内的旁心，，求的最小值。......
15：
已知圆内接四边形的内切圆与边、、、分别切于点、、、，则的最小值为______.......
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