数学奥林匹克高中训练题_164考试题库

数学奥林匹克高中训练题_164考试试题及答案

1：一只蚂蚁从等边三角形的一个顶点开始爬行．每次爬行可随机选择向另一个顶点沿边线爬行．则蚂蚁第十次爬回起始顶点的概率为______．......
2：已知是以（）为首项、（）为公比的等比数列．设．则满足条件的有序数对的个数为______．......
3：过双曲线（，）的右焦点作轴，与双曲线交于点、，与左焦点的连线与双曲线交于点，联结与轴交于点．则的横坐标为______．......
4：在边长为1的正方体中，点、、分别为棱、、的中点．则四面体的体积为______．......
5：设．则当与两个函数图像相切时，______．......
6：在中，已知．则______．......
7：函数的值域是______．......
8：考虑的方格表，其中每个方格内均填有数字0．每次操作可先选定三个实数、、，然后选定一行，将这一行每个方格中的数都加上（为该方格所在的列数，）；或选定一列，将这一列每个方格中的数都加上（为该方格所在的行数.........
9：已知数列满足，．给定奇质数和正整数满足，证明：的充分必要条件为．......
10：证明：对任意、、，有，其中，“”表示轮换对称积．......
11：如图，在中，已知为边上的高，以为直径的分别与、交于点、．设、、分别为、、的中点，与交于点，与交于点．证明：、、三点共线．......
12：已知双曲线，点，，在双曲线上任取一点，过作切线，并由焦点、向切线作垂线，垂足分别为、．证明：（1）点、在以为直径的圆上；（2）为定值．......
13：（1）对任意整数，试求两个不同的正整数、使得．（2）对任意正整数，求满足方程的正整数解．......
14：已知、，且满足．求的最小值．......
15：在复平面上，复数对应的点在联结1和两点的线段上运动，复数对应的点在以原点为圆心、1为半径的圆上运动．则复数对应的点所在区域的面积为______．......

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