数学奥林匹克高中训练题_163考试题库

数学奥林匹克高中训练题_163考试试题及答案

1：设是1，2，…，6的任一个排列，是到的一一映射，且满足，（），记数表若数表、对应的位置上至少有一个不同，则称、是两张不同的数表，那么，满足条件的不同数表的张数为______（用数字作答）．......
2：设正实数、、满足．则的最小值为______．......
3：在中，已知、、分别是、、的对边．若，，则______．......
4：已知三棱锥的底面是边长为6的正三角形，平面，，若点满足，则三棱锥的体积为______．......
5：若函数的值域为，则实数的取值范围是______．......
6：已知正整数数列满足对任意的正整数均有，证明：存在无穷多个正整数对（），使得．......
7：已知（）的方格表中的每个元素都是绝对值不大于1的实数，且方格表中所有元素之和等于0，试求最小的非负实数，使得每个这样的方格表中必有一行或一列，其元素之和的绝对值不大于．......
8：已知、、为非负实数，证明：，其中，“”表示轮换对称和．......
9：如图，在中，已知，内切圆分别与边、、切于点、、、是边的中点，直线分别与、的延长线交于点、，且与的外接圆交于点、，证明：．......
10：过抛物线准线上一点作抛物线的两条切线，切点分别为、，是准线与轴的交点．（1）记抛物线的焦点为，证明：；（2）若，试求点的坐标及直线的方程．......
11：已知数列满足，，且对任意的正整数有，，试求数列的通项公式．......
12：已知函数满足，且对任意，．证明：．......
13：甲乙两支围棋队各5名队员按事先排好的顺序进行擂台赛，双方1号队员先赛，负者被淘汰；然后负方的2号队员再与对方的胜者比赛，负者又被淘汰．依次类推，直到有一方队员全部被淘汰，则宣布另一方获胜．假设每名队员.........
14：已知、分别是中心在坐标原点、对称轴为坐标轴的双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于、两点，、分别为、的内心．若双曲线的离心率为2，，直线的倾斜角的正弦值为，则双曲线的方程为______．......
15：已知关于的方程（）有三个实数根．则的最大值为______．......

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