数学奥林匹克高中训练题_172考试题库

数学奥林匹克高中训练题_172考试试题及答案

1：平面直角坐标系中，直线过双曲线的一个焦点，且与双曲线交于、两点.若以为直径的圆与轴相切，则______.......
2：在实数范围内，方程的解集是______.......
3：设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,令，则的值为 .......
4：已知向量、满足，，且.则、的夹角为______.......
5：已知函数为偶函数，且若函数，则= ．......
6：设，其中，.证明：对任意，，有.......
7：将方格表任意一个角上的小方格表挖去，剩下的图形称为“角形”.现在方格表中放置一些两两不重叠的角形，要求角形的边界与方格表的边界或分格线重合.求正整数的最大值，使得无论以何种方式放置了个角形之后，总能在.........
8：已知、、为正整数，且是一个素数的幂.证明：必为的某个正整数次幂.......
9：如图，在锐角中，点、、分别在边、、上，满足，.设是的垂心.证明：、、、四点共圆.......
10：设椭圆：的左焦点为，点.已知存在过点的直线与椭圆交于点、，为的中点，使得是与的等比中项.求的最小正整数值，并求出此时的方程.......
11：已知实数、满足.试求的取值范围.......
12：给定正整数.已知，且.求满足条件的一切有序数组.......
13：一个粮仓大致可看做一个圆台，其上底半径为3米，下底半径为6米，高为米．一只吃饱了的老鼠在锻炼身体，它打算从圆台下底圆周上的点出发，绕圆台侧面慢跑一周，再回到点.为了使路程最短，这只老鼠至少要跑____.........
14：小张、小李、小华、小明四人玩轮流投掷一枚标准色子的游戏.若有一人投到的数最小，且无人与他并列，则判他获胜；若投出最小数的人多于一个，则将没投出最小数的人先淘汰，再让剩下的人重新做一轮游戏，这样不断地进.........
15：一个赛跑机器人有如下特性：（1）步长可以人为地设置成0.1米，0.2米…1.8米或1.9米；（2）发令后，机器人第一步立刻迈出设置的步长，且每一步的行走过程均在瞬时完成；（3）当设置的步长为米时.........

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