数学奥林匹克高中训练题_171考试题库

数学奥林匹克高中训练题_171考试试题及答案

1：已知实数，.求的最大值,并求取得最大值时应满足的条件.......
2：已知为抛物线准线上的任意一点,过作抛物线的切线,切点分别为. (1)证明：直线过定点； (2)求直线与抛物线所围成图形的面积最小值.......
3：除以31的余数是______.......
4：在100×100的正方形格中任意取平行于方格边的长方形.则此长方形是正方形的概率为______.......
5：已知三个顶点均在抛物线上,且的重心恰为抛物线的焦点.若边所在直线方程为,则______.......
6：已知函数的导函数连续,且 .记曲线与最近的点为.则______.......
7：已知关于的不等式的解集中恰有个正整数.则实数的取值范围是______.......
8：在正四棱锥中,已知,分别为中点.则______.......
9：已知 , , .若能作为三角形的三边长,则正实数的范围是______.......
10：设是平面上由个点组成的点集.若在中任取四个点，均至少有一个点与其余三个点相连，则下面结论中正确的是______. ①中不存在与其他所有点相连的点； ②中至少有一个点与其余所有的点均相连； ③中至多有两.........
11：试求出所有实系数多项式，是的对满足的所有实数、、，都有.......
12：圆周上分布着2014个点,将其任意染成红、黄两色.若从某一点开始,依任一方向绕圆周运动到任一位置,所经过的点(含自身)红点个数恒大于黄点个数,则称该点为“优点”.为确保圆周上至少有一个优点,求圆周上黄.........
13：已知为素数,均为自然数.求满足为完全平方数的数组().......
14：如图,在凸四边形中,已知, ,与交于点.证明：的充分必要条件是.......
15：设函数.对于任意给定的正整数,求函数的最大值和最小值.......

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