数学奥林匹克高中训练题_170考试题库

数学奥林匹克高中训练题_170考试试题及答案

1：已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，点到其渐近线的距离为.若过点P作斜率为的直线交双曲线于、两点，交轴于点，且是与的等比中项，则双曲线的半焦距为_______________.......
2：已知，，若，则实数a的取值范围是．......
3：如图,在中,已知为对角线上一点,且满足,的外接圆与交于另一点.证明：.......
4：已知三个内角分别为.求的最大值.......
5：已知,定点,定直线和上的动点满足：在直线的同侧,点在直线的另一侧.以为焦点作与直线相切的椭圆,且当在上运动时,椭圆的长轴长为定值. (1)求直线的方程； (2)对于第一象限内任意2012个在椭圆上的点.........
6：在数表中,每行均是等差数列,每列各数平方后为等差数列.证明：左上右下=左下右上.......
7：已知正整数数列首项为2013,末项为1,且对任意的均有.则满足条件的数列共有______个.......
8：在任何个连续的正整数中,使得必有一数其各位数字之和是7的倍数成立的最小的正整数______.......
9：已知是边长为1的正边上的点,的内切圆半径分别为.若满足的点D有两个(设为),则______.......
10：已知三个正数满足，，则的最小值是．......
11：已知满足,则的值域是______.......
12：在棱长为1的正方体中,已知是底面的中心,是棱上的点,且.则四面体的体积为______.......
13：设,()是任意的和为正数的个不同的实数,(.)是这个数的一个排列.若对任意的,有,则称()是一个“好排列”.求好排列个数的最小值.......
14：(1)若为奇素数,,, ,证明： ; (2)若是不同的正有理数,使得存在无穷多个正整数,满足是正整数.证明：也是正整数.......
15：已知复平面上的正边形,其各个顶点对应的复数恰是某个整系数多项式的个复根.求该正多边形面积的最小值.......

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