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数学奥林匹克高中训练题(141)考试试题及答案
1：
已知曲线的方程为。 （1）对，讨论曲线的形状； （2）设是曲线上的动点，为过且垂直于轴的直线上的一点，满足，求点的轨迹方程。......
2：
单位正方体中，为的中点。求异面直线与的距离。......
3：
设。则______。......
4：
从中任取一个子集，剩下的元素组成补成。则取出的子集使的概率为______。......
5：
对，若复数对应的点有个在单位圆上，则______。......
6：
已知三棱锥的六条棱长分别为。则两条较长棱所在的直线所成角的余弦值为______。......
7：
设过点的直线与抛物线交于点，与圆交于点。若且，则直线的方程为______。......
8：
已知定义域在上的函数满足：对，有。则函数的值域为______。......
9：
已知点、满足。则的取值范围是______。......
10：
设等差数列的公差为，前项之和为。则为递增数列的充分必要条件是______。......
11：
取集合的子集，其中，。若中存在个集合满足：任意七个的交集非空，求的最大值。......
12：
已知，求证：存在无穷多个正整数，使除以的余数互不相同。......
13：
对于函数，若，则称为的不动点。已知函数 ，，且在其定义域内有唯一的不动点。 （1）求表达式； （2）若数列满足，求。......
14：
如图，在圆内接五边形中，，对角线与交于点，在方向的延长线上取一点。求证：四点共圆的充分必要条件是三点共线。......
15：
设函数在定义域上的最大值为。 （1）求的解析式； （2）当时，求实数的取值范围。......
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