数学奥林匹克高中训练题_177考试题库

数学奥林匹克高中训练题_177考试试题及答案

1：已知函数，实数、满足，．则______．......
2：已知数列满足．若数列的前1000项之和为1000，则前2014项的和为______．......
3：已知对任意的实数均有．则的最大值为______．......
4：在复数范围内，方程的两根为、．若，则______．......
5：若、、，且满足，证明：，其中“”表示轮换对称和．......
6：已知、、、、、为整数，方程①有正整数解．证明：存在无穷多个正整数使得．......
7：如图，和满足如下条件：、分别是线段、的中点，、分别是、的内角平分线．证明：．......
8：已知正实数、满足，．求的取值范围．......
9：已知（为非零常数）为抛物线上一点，过作两条倾斜角互补的直线与抛物线交于另两点、．（1）证明：直线的斜率为定值；（2）若点位于轴上方，、位于轴下方，求面积的最小上界．......
10：已知多项式，其中，为实数．证明：对任意的实数，方程总有一个相同的实数根．......
11：某中学每层楼有35盏楼灯．现为了节约用电同时又要保证楼道的照明需要，要求：（1）相邻的两盏楼灯不能同时开；（2）任意连续三盏楼灯不能同时关．若请你设计不同的照明方式，你最多能设计______种不.........
12：方程的正整数解有______组（表示整数、的最大公约数）．......
13：在平面直角坐标系中定义点之间的交通距离为. 若到点的交通距离相等，其中，实数满足，则所有满足条件的点的轨迹的长之和为____________.......
14：圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，为底面中心，为的中点，动点在圆锥底面内（包括圆周）．若，则点形成的轨迹的长度为______．......
15：求的最大值，使得从一个元集的子集中可以选出个不同的子集，，…，，满足对所有成立．......

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