数学奥林匹克高中训练题_174考试题库

数学奥林匹克高中训练题_174考试试题及答案

1：从中取出三个不同的数，使得其不能组成一个三角形的三边长的不同取法有______种.......
2：如图，已知正方体的边长为4，、、分别是棱、、上的点，，，.则四面体的体积为______.......
3：如图，为的一条切线，满足，与的半径交于点，力线段上一点，作与交于点.证明：当且仅当与相切时，.......
4：擎天柱为了防止魔方落入霸天虎手中，打算用激光刀将其销毁.擎天柱使用的方法是：每次切割可将魔方分成两个体积之比为的六面体，每个六面体恰包含魔方的一个面，且任两次操作得到的截面在魔方中均有交点，而魔方的属.........
5：黑板上写有1，2，…，2014这2014个正整数.现进行如下操作：第一步划去最前面的两个数l、2，并在2014后面写上这两数的和3；第二步划去最前面的三个数3、4、5，并在最后面写上这三数的和12；如.........
6：已知椭圆.试求实数数对，满足对任意斜率为的直线与椭圆的交点、及直线与椭圆上半部分的交点可组成，均有的内心在直线上.......
7：抛一颗色子三次，所得点数分别为、、.则函数在上为增函数的概率为______.......
8：在三棱锥中，已知，，，且.以为球心、1为半径作一个球.则三棱锥不在球内部的部分体积为______.......
9：计算： ______.......
10：函数的最小值为______.......
11：如图，设、分别是两个同心圆（半径分别为6、4）上的动点.当、分别在圆上运动时，线段的中点所形成的区域面积为______.......
12：已知集合，其中，.若正整数，且，则符合条件的正整数数对有______个.......
13：某国建了一座时间机器，形似一条圆形地铁轨道，其上均匀设置了2014个站台（编号依次为l，2，…，2014）分别对应一个年份，起始站及终点站均为第1站（对应2014年）.为节约成本，机器每次运行一圈，只.........
14：已知正整数满足，.令，， .对任意的，记，其中，表示不超过实数的最大整数，表示集合中元素的个数.证明：（1）；（2）.......
15：已知，令求能取到的不同的整数值的个数.......

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