数学奥林匹克高中训练题_175考试题库

数学奥林匹克高中训练题_175考试试题及答案

1：集合，是集合的任意非空子集，、是集合中任意两个元素，以、为边长的等腰三角形有且只有一个，则集合中元素个数的最大值为______.......
2：如图，已知直线，垂足为，在中，，，，该直角三角形在空间做符合以下条件的自由运动：①，②则、两点间的最大距离为______.......
3：已知函数，其中，.过点作函数图像的切线，令各切点的横坐标构成数列.则数列的所有项之和的值为______.......
4：已知双曲线的两个焦点分别为，，过点的直线与该双曲线的右支交于、两点，且是以为直角顶点的等腰直角三角形，则该双曲线的实轴长为______.......
5：若、、成等比数列，、、成等差数列，则该等差数列的公差为______.......
6：已知函数.若当时，不等式的解集是空集，则实数的取值范围是______.......
7：已知点为的内心，，若，则__________．......
8：设为实数，.证明： (1)把写成无穷乘积有唯一的表达式其中，为正整数，满足； (2)是有理数，当且仅当它的无穷乘积具有下列性质：存在，对所有的，满足......
9：设，为三维空间中个点组成的有限集，其中任意四点不在一个平面上，将集合中的点染成白色或黑色，使得任意一个与集合至少交于四个点的球面具有这样的性质：这些交点中恰有一半的点为白色的.证明：集合中所有的点均在.........
10：设是一个大于1的正整数，是素数，. (1)证明：或； (2)若是不同于的素数，则恰有个不同的解（即模互不同余）.......
11：如图，已知)的内心为，相对的旁切圆圆心为，的中点为，与交于点.证明：.......
12：设点和：，是的直径，从左到右、、依次是的四等分点，(异于、）是上的动点，上于点，，直线与交于点，为定值. (1)求的值及点的轨迹曲线的方程； (2)若点、是曲线上不同的两点，且、与曲线相切，求面积的最.........
13：已知数列满足，，，. (1)是否存在正整数，使得对任意的，有？ (2)设，问：是否为有理数？说明理由.......
14：当时，求函数的最小值的表达式.......
15：已知实系数一元二次方程有实根.则使得，成立的正实数的最大值为______.......

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