2018年全国高中数学联赛福建省预赛考试题库

2018年全国高中数学联赛福建省预赛考试试题及答案

1：将正偶数集合从小到大按第组有个数进行分组：，，，…，则2018位于第______组．......
2：已知数列的前项和满足，，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，为数列的前项和，求使成立的最小正整数的值．......
3：已知函数满足：对任意实数、，都有成立，且，则______．......
4：已知整系数多项式，若，，则______．......
5：最近网络上有一篇文章很火．源于一道常见题目：（见图），这貌似易解的题目，里面竟然蕴藏了深奥的大道理．（本题不作为本次考试的试题，本次试题如下）设，，则的最大值为______．......
6：已知、分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，、分别为的重心、内心．若轴，则的外接圆半径______．......
7：如图，在三棱锥中，、都是边长为6的等边三角形．若二面角的大小为，则三棱锥的外接球的面积为______．......
8：从如图所示的，由9个单位小方格组成的，方格表的16个顶点中任取三个顶点，则这三个点构成直角三角形的概率为______．......
9：已知定义在上的奇函数，它的图象关于直线对称．当时，，则______．......
10：设复数满足，则的最大值为______．（为虚数单位，为复数的共轭复数）......
11：在中，内角、、所对的边分别是、、．若，，，则______．......
12：设是由有限个正整数构成的集合，且，这里，，，2，…，20．并对任意的，都有，，已知对任意的，，若，则．求集合的元素个数的最小值．（这里，表示集合的元素个数）......
13：已知．（1）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）若、是函数的两个零点，求证：．......
14：如图，在锐角中，、是边上的点，、、的外心分别为、、．证明：（1）∽；（2）若，则．......
15：已知、分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且的垂心为．（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆的左顶点，过点的直线交椭圆于、两点．记直线、的斜率分别为、，若，求直线的方程．......

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