数学奥林匹克高中训练题_56考试题库

数学奥林匹克高中训练题_56考试试题及答案

1：设长轴长为，短轴长为的椭圆的面积为，已知等腰直角的斜边.那么，与各边都相切，且长轴与边平行的椭圆的面积的最大值是（）. A. B. C. D.......
2：已知复数满足，且.则以这四个复数对应的点为顶点的四边形一定是（）. A. 矩形 B. 正方形 C. 平行四边形 D. 梯形......
3：一个球外接于四面体，另一个半径为1的球与平面相切，且两球内切于点.已知.则四面体的体积等于（）. A. B. C. 3 D. 5......
4：对任意的正整数，连结原点与点，用表示线段上除端点外的所有整点的个数.则的值等于（）. A. 2002 B. 2001 C. 1334 D. 667......
5：已知实数满足.则的最大值与最小值的和等于（）. A. B. C. D.......
6：一个递减的等差数列，它的前7项的5次幂之和为零，4次幂之和为2002，则这个数列的第7项是（）. A. 2002 B. C. D.......
7：如图，在中，，为的平分线，点在的内部，且，.求证：射线平行边.......
8：设是互不相等的实数.求证：中至少有一个不大于.......
9：以的边为实轴的双曲线交此三角形的另两边、的延长线于、.过点、分别作该双曲线的切线，两切线交于点.求证：.......
10：设数列满足，，且对任意正整数，都有试求数列的通项公式.......
11：一块用栅栏围成的长方形土地的长和宽分别为52和24，一位农业科技人员欲将这块土地从内部分割为一些全等的正方形试验田.要求这块土地全部被划分且分割成的正方形的边与土地的边界平行，现有2002栅栏，最多可.........
12：用表示区间内不含数字9的位小数的个数，表示这些小数的和.则______.......
13：设整数满足则的值为______.......
14：已知为偶函数，为奇函数，其中.则的值是______.......
15：从这99个自然数中任选不同的两个数，其和小于99的选法共有______种.......
16：已知，则的值是______.......
17：为固定的整数，定义任意整数坐标点关于的余数是关于的余数.找出所有正整数数组，使得以、、、为顶点的长方形具有如下性质： ⅰ.长方形内整数点以为余数出现的次数相同； ⅱ.长方形边界上整数点以为余数出现的次.........
18：设，其中和都是实数，且.证明：若，则对一切正整数，均有.......

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