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数学奥林匹克高中训练题_77考试试题及答案
1：
一个三棱锥的三个侧面中，有两个是等腰直角三角形，另一个是边长为1的正三角形。则这样的三棱锥有_________________个。......
2：
若，不等式恒成立，则实数的取值范围是_____________。......
3：
若 ，且，则的值为________________。......
4：
若不等式至少有一个负解，则参数的取值范围是（）。 A. B. C. D.......
5：
设直四棱柱的底面是菱形，且面积为 ， ， 分别是棱上的点，且。则四棱锥的体积为（）。 A. B. C. D.......
6：
已知点在定的圆内或圆周上，动过点且与相切。则的圆心轨迹可能是（）。 A. 圆、椭圆或双曲线 B. 两条射线、圆或抛物线 C. 两条射线、圆或椭圆 D. 椭圆、双曲线或抛物线......
7：
如图，在杨辉三角中，斜线的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,3,3,4,6,5,10，…，设其前项和为。则的值为（）。 A. 172 B. 217 C. 228 D. 283......
8：
若，则满足等式的实数的取值范围是（）。 A. B. 或 C. D. 或......
9：
定义在上的函数满足 ，且函数为奇函数。给出以下3个命题： ①函数的周期是6； ②函数的图像关于点对称； ③函数 的图像关于轴对称。 其中，真命题的个数是（）。 A. 3 B. 2 C. 1 D. 0......
10：
已知数列满足，，。记，问：对是否为完全平方数？请说明理由。......
11：
试确定所有的正整数组 ，使得，其中是质数，.......
12：
如图，两等圆相交于两点，均不在两圆公共部分内，过点作割线，点在上，点在上，且与在两侧。设分别为的中点。求证：三点共线。......
13：
设抛物线的焦点为，为抛物线的焦点弦，点在抛物线的准线上，为坐标原点，求证： （1）直线的斜率成等差数列； （2）当时， 。......
14：
已知，且，求证：。......
15：
已知函数 （1）当时，求的最小值； （2）是否存在实数，使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由。......
16：
数列中，，前项和为，对于任意的 ，恒为等差数列。则=______________。......
17：
椭圆的左焦点为，直线与椭圆交于两点，且。则 的最大值为_______________。......
18：
将1～16这16个整数填入4×4的方格中，使每行、每列的数之和都是（ ，且）的倍数，并且是 的8个不同的倍数。则的值为_______________。......
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