数学奥林匹克高中训练题_65考试题库

数学奥林匹克高中训练题_65考试试题及答案

1：设复数满足条件，且，，又复数使得为实数.则复数的辐角主值的取值范围是______.......
2：不等式的解集为______.......
3：已知异面直线、所成的角为，过空间一点作与、都成角的直线.则这样的直线的条数______.......
4：过椭圆上任意一点，作椭圆右准线的垂线（为垂足），并延长到，使得.当点在椭圆上运动时，点的轨迹的离心率取值范围是______.......
5：一个五位的自然数称为“凸”数，当且仅当它满足，（如12430，13531等）.则在所有五位数中“凸”数的个数是（）. A. 8568 B. 2142 C. 2139 D. 1134......
6：（其中，表示不超过的最大整数）的值为（）. A. B. C. D.......
7：递增数列，由一些正整数组成，它们或者是3的幂，或者是若干个不同的3的幂之和.则此数列的第100项为（）. A. 729 B. 972 C. 243 D. 981......
8：若干个棱长为2、3、5的长方体，依相同方向拼成棱长为90的正方体，则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是（）. A. 64 B. 66 C. 68 D. 70......
9：已知，，，给出值的五个答案： ①， ②， ③，④， ⑤. 其中正确的是（）. A. ①②⑤ B. ②③④ C. ①④⑤ D. ③④⑤......
10：设集合，，映射使对任意都有是奇数．则这样的映射的个数是（）． A. 45 B. 27 C. 15 D. 11......
11：设为坐标平面上坐标为的点，其中为素数.求满足下列条件的直角三角形的个数：（1）三角形的三个顶点都是整点，而且是直角顶点；（2）三角形的内心是坐标原点.......
12：设个实数；满足条件（1）；（2），；（3），. 求证：.......
13：如图所示，、是的切线，、是切点，是劣弧上异于、的点，过点平行于的直线分别交、于点、.若，求证：.......
14：设正系数一元二次方程有实根.证明：（1）；（2）.......
15：设异面直线、成角，它们的公垂线段为，且，线段的长为4，两端点、分别在、上移动.求线段中点的轨迹方程.......
16：已知数列是首项为2，公比为的等比数列，且前项和为. （1）用表示；（2）是否存在自然数和，使得成立？......
17：在一个由十进制数字组成的数码中，如果它含有偶数个数字8，则称它为“优选”数码（如12 883，787 480 889等），否则称它为“非优选”数码（如2 348 756，958 288等）.则长度不超.........
18：设均为正实数，且.则的最小值是______.......

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