数学奥林匹克高中训练题_50考试题库

数学奥林匹克高中训练题_50考试试题及答案

1：给定数列,,且，则=____.......
2：设集合，，映射,使得，已知，.则x,y,u的值分别是____.......
3：实数a的取值集合为时，方程有实数解.......
4：半径为x的⊙0在边长为1的正方形内与正方形的边（至少一边）相切，并滚动着.在正方形内滚动一周后，设⊙O没有通过的区域面积为S，则能使S取最小值的x为（） A. B. C. D.......
5：整数的末尾两位数是（）. A. 10 B. 01 C. 00 D. 20......
6：已知（a、b、c为实数），且，则的值是（）. A. -5 B. -3 C. 3 D. 随a、b、c而变......
7：已知△ABC,O为△ABC内一点，.则使成立的最大数m（）. A. 2 B. C. D.......
8：已知关于x的方程（a为实数）至少有一个模为3的复数根.则a的所有取值（）. A. 1,9 B. C. D.......
9：已知集合， .若，则a的所有取值是（）. A. -1，1 B. C. D.......
10：已知二次曲线F,焦点为，准线为，P为曲线F上一点.过点P作平行于曲线F的对称轴的直线交于点M、N，点为直线的交点.证明：点四点共圆.......
11：已知自然数n≥5.试求： 1.n元集中，（1<i<j≤n）至少产生了多少个不同的数； 2,确定达到上述最小值的所有n元集合.......
12：设K为△ABC的内心，点、分别为边AB、AC的中点，直线AC与交于点，直线AB与交于点,若与△ABC面积相等，试求∠CAB.......
13：已知函数，满足I a、b、c、d均大于0； Ii 对于任一个，f(x)为整数； Iii f(1)=50,f(5)=70.试说明，对于每个整数x，f(x)是否为整数？......
14：由沿河城市A货运到另一地点B，B离河岸最近的C处b千米，按沿河的距离算，AC的距离为a千米.如果水路运费是公路运费的（n是大于1的实数），试说明，如何从B点修一条公路到河岸，使由A到B的总运费最小？......
15：已知圆内接六边形ABCDEF的末尾两位数字是的边满足关系式AB＝CD＝EF＝r，r为圆的半径，G、H、K分别是边BC、DE、FA的中点.试说明△GHK是否为正三角形.......
16：12个朋友每周聚餐一次，每周他们分成三组，每组4人，不同组坐不同的桌子.若要求这些朋友中任意两个人至少有一次同坐一张桌子，则至少需要周____周.......
17：集合A、B的并集，当A≠B时，（A，B）与（B，A）视为不同的数对.则这样的数对（A,B）的个数是____.......
18：若圆锥的表面积和体积被平行于底面的平面分成上、下两部分的比都等于k，则使k＞1的c的最小值为____.......

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