数学奥林匹克高中训练题_25考试题库

数学奥林匹克高中训练题_25考试试题及答案

1：如图，正三棱柱的各条棱长都是1，截面在棱上的交点为.设这个截面与底面和三个侧面、、所成的二面角依次为、、、，若，则截面的面积等于_________.......
2：设，，是直角三角形的三条边长，为斜边长，那么使不等式对所有直角三角形都成立的的最大值是_________.......
3：设函数，若用表示不超过实数的最大整数，则函数的值域为_____________.......
4：在直角坐标系中，一直角三角形的两条直角边分别平行于两坐标轴，且两直角边上的中线所在直线方程分别是和，则实数的值是_________.......
5：在集合的所有子集中，有这样一族不同的子集，它们两两的交集都不是空集，那么这族子集最多有（） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个......
6：以为球心，4为半径的球与三条相互平等的直线分别切于、、三点.已知,,则等于（） A. B. C. D.......
7：函数的最大值是（） A. 20 B. 10 C. -10 D. -20......
8：已知三边的长分别是，，，复数，满足：，，，那么复数一定（） A. 是实数 B. 是纯虚数 C. 不是实数 D. 不是纯虚数......
9：我们把离心率等于黄金比的椭圆称之为“优美椭圆”.设为优美椭圆，，分别是它的左焦点和右端点，是它的短轴的一个端点，则等于（） A. B. C. D.......
10：已知函数的反函数的图象关于点成中心对称图形，则实数等于（） A. 2 B. 3 C. -2 D. -4......
11：给定两个七棱锥，它们有公共面的底面，顶点、在底面的两则.现将下述线段中的每一条染红、蓝两色之一:，底面上的所有对角线和所有的侧棱.求证：图中心存在一个同色三角形.......
12：实数数列，，…，满足：.若数列满足：，求的最大可能值.......
13：已知一个四边形的各边长都是整数，并且任何一边的长都能整除其余三边长度之和.求证：这个四边形必有两边相等.......
14：西光厂眼镜车间接到一批任务，需要加工6000个型零件和2000个型零件.这个车间有214名工人，他们每一个人加工5个型零件的时间可以加工3个型零件.将这些工人分成两组，两组同时工作，每组加工一种型号的.........
15：设是方程的最大负根，是方程的最小正根，那么，使不等式成立的实数的取值范围是_________.......
16：已知是定义在实数集上的函数，且.若，则的值是_________.......

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