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2015年全国高中数学联合竞赛试卷考试试题及答案
1：
设、为不相等的实数.若二次函数满足，则的值为______.......
2：
在平面直角坐标系中，、分别为椭圆的左、右焦点.设不经过焦点的直线与椭圆交于两个不同的点、，焦点到直线的距离为.若直线、、的斜率依次成等差数列，求的取值范围.......
3：
设、、、为四个有理数，使得.求的值.......
4：
如实数、、满足，，求的最小值.......
5：
对四位数，若，，，则称为类数；若，，，则称为类数.用与分别表示类数与类数的个数.则的值为______.......
6：
设为正实数.若存在、，使得，则的取值范围是______.......
7：
在平面直角坐标系中，点集所对应的平面区域的面积为______.......
8：
在正方体中随机取三条棱，它们两两异面的概率为______.......
9：
在矩形中，，，边上（包含点、）的动点与延长线上（包含点）的动点满足.则向量与的数量积的最小值为______.......
10：
已知复数数列满足，，其中，为虚数单位，表示的共轭复数.则的值为______.......
11：
若，则__________．......
12：
求具有下述性质的所有正整数：对任意正整数，.......
13：
如图，内接于，为弧上一点，点在线段上，使得平分. 过、、三点的圆与边交于点，联结与圆交于点，联结并延长，与边交于点.证明：......
14：
设，其中，为个互不相同的有限集合，满足对任意、，均有.若（表示有限集合的元素个数），证明：存在，使得属于中的至少个集合.......
15：
设的实数.证明：可以选取，使得.......
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