数学奥林匹克高中训练题_6考试题库

数学奥林匹克高中训练题_6考试试题及答案

1：设对任意自然数，定义.则的解析式为（） A. B. C. D.......
2：四次方程的四个根当中的两个的积是24，则的值是_________.......
3：如图，已知椭圆，，，且，，动点在上移动.则的面积的最小值是_________.......
4：一个三位自然数称为凹数，如果同时有及（例如104，525，849都是凹数，而123，684，200都不是凹数）.则所有凹数的个数是_________.......
5：一个圆锥和一个圆柱，下底面在同一平面上，它们有公共的内切球.记圆锥的体积为，圆柱的体积为，且.则的最小值是_________.......
6：满足不等式的点的集合是_________.......
7：若是纯角三角形，则的值域是（） A. B. C. D.......
8：若复数的共轭复数是，且，又与为定点，则函数取最大值时在复平面上以，，三点为顶点的图形是（） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形......
9：一圆台的上底半径为，下底半径为，母线为.现有一蚂蚁从下底面圆周的点，绕圆台侧面（即要求与圆台的每条母线均相交）向上底面圆周的点爬行一圈，则此蚂蚁爬行的最短路线是（） A. B. C. D.......
10：自然数，，，满足等式，则（） A. 是质数 B. 是合数 C. 可能是质数，也可能是合数 D. 既不是质数，也不是合数......
11：若，则，，从小到大的顺序是（） A. B. C. D.......
12：证明任意28个介于104和208之间（包括104和208）的不同的正整数，其中必有两个数不互素（即此二数的最大公约数大于1）.......
13：假定，，…，和，，…，都是由不相等的复数所组成的序列.已知对均有.证明对任何，乘积都等于同一常数，并求出此常数.......
14：如图中，，都是正三角形，线段.连，相交于，连并延长与的延长线相交于.证明.......
15：100个火柴盒，标号为1至100.我们可以问其中任15个盒子总共含有的火柴为奇数或偶数.至少要问几个问题才能确定1号盒子里的火柴数的奇偶性？......
16：设，分别在正方形的边，上，与以为半径的圆相切，线段与分别交对角线于，.证明：五边形内接于圆.......
17：，，…，是互不相等的自然数.证明： .......
18：四个正数的和为4，平方和为8，则这四个数中最大的那个的最大值为_______________。......

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