2012年全国高中数学联合竞赛试卷考试题库

2012年全国高中数学联合竞赛试卷考试试题及答案

1：设同底的两个正三棱锥和内接于同一个球.若正三棱锥的侧面与底面所成的角为，则正三棱锥的侧面与底面所成角的正切值是______.......
2：抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在上的投影为，则的最大值是_______.......
3：设、、.则的最大值是______.......
4：设的内角、、的对边分别为、、，且满足.则______.......
5：设是函数的图像上任意一点，过点分别向直线和轴作垂线,垂足分别为,则的值为 .......
6：试证明：集合满足（1）对每个及，若，则一定不是的倍数；（2）对每个（表示在中的补集），且，必存在，，使是的倍数.......
7：如图，在锐角中，，、是边上不同的两点，使得.设和的外心分别为、.证明：、、三点共线.......
8：如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为4，且. (1)证明：为定值； (2)当点在半圆：上运动时，求点的轨迹.......
9：已知数列的各项均为非零实数，且对于任意的正整数都有. (1)当时，求所有满足条件的三项组成的数列，，. (2)是否存在满足条件的无穷数列，使得若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理.........
10：已知函数，其中，，且. (1)若对任意，都有，求的取值范围. (2)若，且存在，使，求的取值范围.......
11：某情报站有、、、四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种.设第一周使用种密码.那么，第七周也使用种密码的概率是______（用最简分数表示）..........
12：满足的所有正整数的和是______.......
13：设是定义在R上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是．......
14：设（是正整数）.证明：对满足的任意实数、，数列中有无穷多项属于（表示不超过实数的最大整数）.......
15：设是平面上个点，其两两间的距离的最小值为.证明： .......

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