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数学奥林匹克高中训练题_118考试试题及答案
1：
被7除的余数是______（表示不超过实数的最大整数）.......
2：
在平面直角坐标系中，定义点之间的“交通距离”为，某国有3座城堡，在地图上标为,现该国打算建造一座新城堡，如果该城堡到另3座城堡的交通距离相等，则新城堡的位置为______.......
3：
将正整数分成两组：，从中各取一个数，二者相除得到一个数，记为的“商”，则所有商的积的最大值为______.......
4：
复平面上动点的轨迹方程为______.......
5：
已知圆心在原点、半径为的圆与的边有公共点，其中，，则的取值范围为______.......
6：
已知连续个正整数总和为，且这些数中后个数的平方和与前个数的平方和之差为．若，则的值为 ．......
7：
设是不为零的复数，满足，称使得恒成立的正整数为“好数”，则不超过2009的正整数中好数的个数为______.......
8：
将一枚棋子放在一个的棋盘上，记为从左、上数第行第列的小方格，求所有的四元数组，使得从出发，经过每个小方格恰一次到达（每步为将棋子从一个小方格移到与之有共同边的另一个小方格）.......
9：
已知个连续正整数排成一列，记为，将中各项重新排列，得到一个新排列，记， ，求证：.......
10：
已知一个12位的正整数可以被37整除，且只包含数码，求这个12为数的各位数字之和的所有可能值.......
11：
如图，已知分别为四边形的内切圆、外接圆，分别切于点，作分别切于点，分别切于点，若,证明：共点于.......
12：
是否存在一个正整数数列，满足，其中，为的最大公约数，且数列中至少有个不同的数.......
13：
已知两条直线，点到的射影分别为点. （1）求使成立的点的轨迹曲线； （2）若与曲线恰有7个交点，求的值.......
14：
已知是棱长为2的正四面体的棱上的点，四面体、四面体的内切球半径分别为，若，则满足条件的点有两个，分别设为,试求的长.......
15：
已知关于的方程的三个非零实根成等比数列，则______.......
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