数学奥林匹克高中训练题_101考试题库

数学奥林匹克高中训练题_101考试试题及答案

1：已知函数，.当时，，.则方程的实数解得个数是______.......
2：对于非空集合、、定于运算：.已知两个区间，，其中，.则______.......
3：设的三个内角、、所对的边长分别为、。、.若，且，则、、的弧度之比为______.......
4：设、为正整数.若存在正整数，使得、和这三个数能成为一个三角形的三边长，则为一个“好数”.现已知恰好在100个好数.则的最大可能值是（） A. 100 B. 101 C. 134 D. 2007......
5：平面上的两个向量、满足，，且，.若向量，且.则的最大值是（） A. B. 1 C. 2 D. 4......
6：从正方体的8个顶点中任取4个不在同一平面上的点、、、组成二面角.则这样大小不同的二面角共有（）个 A. 28 B. 27 C. 9 D. 8......
7：如图，为双曲线右支上任意一点，过点的直线与双曲线的两条渐近线分别交于点、，且点内分线段，为坐标原点，为双曲线的半焦距.则面积的最小值是（） A. B. C. D.......
8：已知、、是三个不相等的锐角.若，则等于（）. A. B. C. D.......
9：设、、是两个两两不相等的正整数.若，则的最小值是（） A. 2007 B. 1949 C. 1297 D. 1000......
10：在的方格表中取出46个方格染成红色.证明：存在一块由4个方格构成的区域，其中由至少3个方格被染成红色.......
11：已知无穷正数数列满足：（1）存在，使得；（2）对任意正整数、，均有，求证：.......
12：如图，为外一点，、是的两条切线，切点分别为、，的割线交于点，，垂足为.求证：平分.......
13：一张纸片上画有直线和直线外一点，且点到直线的距离为.折叠纸片，使点恰好在与直线上某一点重合，这样每一种折法，在纸片上都留下一条痕迹.当遍历直线上所有点时，求所有折痕所在直线上的点的集合.......
14：已知，，且.求证：.......
15：已知定义在上的函数满足. （1）当时，求；当时，求. （2）若有且仅有一个实数，使得，求函数的解析式.......
16：给定正整数，按下述方式构成一个倒立的三角形表（如图）：第一行依次写上数，在上一行的每两个相邻的正中间下方分别写上这两个数的和，得到下一行（比上一行少一个数）.依次类推，最后一行（第行）只有一个数，记作.........
17：椭圆的右焦点为，右准线为，为24个依逆时针顺序排列在椭圆上的点.其中是椭圆的右顶点，且，则这24个点到的距离的倒数和为______.......

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