数学奥林匹克高中训练题(133)考试题库

数学奥林匹克高中训练题(133)考试试题及答案

1：某公司在2009年投资了一个项目，每年都既有现金投入又有现金收入．已知：（1）2009年度公司投入了1000万元，以后每年投入将比上年减少20%；（2）2009年度公司收入了500万元，以后每年收.........
2：记．现抛掷硬币从A、B中无放回地取出数字组成九位数，规则是：若硬币出现正面时，就从集合A中取出一个最小的数；若硬币出现反面时，就从集合B中取出一个最小的数．当一个集合的数字被取完而另一个集合还有数字时.........
3：把函数的系数按其自然位置排成两行两列，记为二阶矩阵．其中，每一个数字称为二阶矩阵的元素．又记的系数所组成的二阶矩阵为A的平方，即．观察二阶矩阵乘法的规律，写出中的元素________．......
4：称四个面均为直角三角形的三棱锥为“四直角三棱锥”．若在四直角三棱锥中，，则另一面的直角为________．......
5：集合的子集个数为________．......
6：若实数x、y满足，则的取值范围为________．......
7：方程的解为________．......
8：对整点25边形的顶点作三染色．求证：存在一个三顶点同色的三角形，它的重心也是整点．......
9：已知数列：1，3，5，7，…，从第5项开始是的个位数．问：能否被4整除？......
10：已知，，又、β为满足的实数．求证：．......
11：如图，在正方形ABCD的一边CD内任取一点E，过E作对角线AC的平行线，交对角线BD于点G、交边AD于点H、交边BA的延长线于点F，联结BH交DF于点M．求证：（1）C、G、M三点共线；（2）C、.........
12：已知函数，其中，a为实数．（1）当函数的图像在上与x轴有唯一的公共点时，求实数a的取值范围；（2）当时，求函数在上的最大值与最小值．......
13：在直角坐标系xOy的横轴上取两个定点、，在纵轴上取两个动点、，满足，（a、b为常数），联结、交于点M．（1）求点M所在的曲线P；（2）过点作斜率为的直线交曲线P于点A、C，若，且点B也在曲线P上，.........
14：如图，在三棱锥中，，，D为AC的中点，点E、F分别在OD、AB上，且，．（1）问：，能否同时成立？证明你的结论；（2）求出EF的长度．......
15：对正整数n，用表示n的各位数码之和，用表示小于n且与n互质的正整数个数．若n为三位数，且满足，则的最大值为________．......

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