数学奥林匹克高中训练题_40考试题库

数学奥林匹克高中训练题_40考试试题及答案

1：已知数列的各项均为正数，且前项和满足.若、、成等比数列，则数列的通项________.......
2：设、为实数，且满足则的值是________.......
3：设.则的正整数约数有（）个. A. 3 B. 216 C. 69 D. 5......
4：正方形中，为中点，为中点，沿、分别将和折起，使与重合.设点与点重合于点，中点折起后变为中点.则异面直线与所构成的角为（）. A. B. C. D.......
5：设是椭圆的长轴.若把这个长轴100等分，过每个分点作的垂线，交椭圆的上半部分于，为椭圆的左焦点.则的值是（）. A. B. C. D.......
6：已知10个质数构成等差数列.则它们的公差必满足（）. A. 是2、3、5、7的倍数 B. 是11的倍数 C. D.......
7：若，则必有（）. A. B. C. D.......
8：已知，且，又对一切都成立.则（）. A. 100 B. 110 C. 120 D. 130......
9：将长为、宽为的矩形划分为个小正方形.一粒子不重复不遗漏连续地通过每个小正方形的一条对角线.这件事能否办到？若办不到，请说明理由；若能办到，请给出一种行走路线.......
10：设、分别是椭圆和圆的弦，端点与、与的横坐标相同，纵坐标同号.试证：当经过椭圆内的定点时，必经过定点.......
11：与外切于点，为两圆的公切线，其中、分别为、上的切点，过且垂直于的直线与过且垂直于的直线交于点，垂直于，垂足为，与交于点.证明：、、三条直线交于一点.......
12：今有一个量，经“建模”后得关系式，其中、、、、都取正值，，，且满足，.请你设计一种方法，求出量的最小值.......
13：已知二次函数.若方程无实根，求证：方程也无实根.......
14：过侧面均为正三角形的三棱锥的高作一平面，与三侧面所在平面交于三条直线，这三条直线与底面所成的角分别为、、.求证：.......
15：若，则________.......
16：设复数，复数、、在复平面上对应的三个点分别是、、．当、、不共线时，以线段、为两边的平行四边形的第四个顶点为．则点到原点距离的最大值是______．......
17：已知四个数：，，，中有一个质数.则这个质数是________.......
18：要使函数的定义域为，则实数应满足的条件是________.......

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